（1）设任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，

∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，

∴f（-x）=-f（x），

∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），

∵对任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，

∴

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，又x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，

∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

(x1-x2)＜0，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，

∴f（x）在定义域[-1，1]上位增函数；

（2）∵函数f（x）为奇函数，

∴f（-x）=f（x），又不等式f(x-

1

2

)+f(x-

1

4

)＜0，即f（x-

1

2

）＜-f（x-

1

4

），

∴f(x-

1

2

)＜-f(x-

1

4

)=f(

1

4

-x)，

由（1）可知，f（x）在定义域[-1，1]上位增函数，

∴

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜ 1 4 -x

，解得-

1

2

≤x＜

3

8

，

∴不等式f(x-

1

2

)+f(x-

1

4

)＜0的解集为{x|-

1

2

≤x＜

3

8

}；

（3）由（1）可知，f（x）在定义域[-1，1]上位增函数，

∴f（x）_max=f（1），又f（1）=1，

∴f（x）_max=1，

∵不等式f（x）+（2a-1）t-2≤0对所有x∈[-1，1]和a∈[-1，1]都恒成立，

∴f（x）_max≤（1-2a）t+2对任意的a∈[-1，1]都恒成立，

∴1≤-2ta+t+2对任意的a∈[-1，1]都恒成立，

∴

-2t+t+2≥1 2t+t+2≥1

，解得-

1

3

≤t≤1，

∴实数t的取值范围为-

1

3

≤t≤1．