已知二次曲线Ck的方程：x29-k+y24-k=1．（1）分别求出方程表示椭圆和

问题解答题

已知二次曲线C_k的方程：

9-k

4-k

=1．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线C_k与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
（3）m、n为正整数，且m＜n，是否存在两条曲线C_m、C_n，其交点P与点F1(-

，0)，F2(

，0)满足PF₁⊥PF₂，若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）当且仅当

9-k＞0

4-k＞0

9-k≠4-k

⇒k＜4时，方程表示椭圆；----（2分）

当且仅当（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9时，方程表示双曲线．---（4分）

（2）

y=x+1

9-k

4-k

化简得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）

△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）

双曲线的实轴为2

9-k

，当k=6时，双曲线实轴最长为2

此时双曲线方程为

=1-------（10分）

（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是椭圆，C₅，C₆，C₇，C₈是双曲线，结合图象的几何性质

任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点------（12分）

设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}

由椭圆与双曲线定义及

PF1

•

PF2

=0；

d1+d2=2

9-m

|d1-d2|=2

9-n

d12+d22=20

所以m+n=8-----（16分）

所以这样的C_m，C_n存在，且

m=1

n=7

或

m=2

n=6

或

m=3

n=5

-----（18分）