问题
解答题
已知函数f（logax）=
（1）求f（x）解析式并判断f（x）的奇偶性； （2）对于（1）中的函数f（x），若∀x1，x2∈R当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）成立，求满足条件f（1-m）+f（m2-1）＜0的实数m的取值范围． |
答案
（1）令logax=t，则x=at，
∴f(t)=
(at-a a-1
)1 at
∴f(x)=
(ax-a a-1
)，x∈R-----------------------------------------------（4分）1 ax
因为f(-x)=
(a-x-a a-1
)=-f(x)1 a-x
∴f（x）为奇函数-------------------（6分）
（2）因为∀x1，x2∈R当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）成立，
所以f（x）在R上单调递增------------------------------（8分）
由f（1-m）+f（m2-1）＜0得f（m2-1）＜-f（1-m），
又f（x）为奇函数，
∴-f（1-m）=f（m-1），即f（m2-1）＜f（m-1），
------------------------------（10分）
由f（x）在R上单调递增得m2-1＜m-1，
即m2＜m解得0＜m＜1
故实数m的取值范围为（0，1）------------------------------（12分）