问题
解答题
已知椭圆Γ：
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程； （Ⅱ）当k1=1时，求S△AOB的值； （Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：
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答案
（Ⅰ）由题意，得
解得
=c a 2 3 a-c=1 a=3 c=2
∴b2=a2-c2=5，
故椭圆Γ的方程为
+x2 9
=1．…（4分）y2 5
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），∴直线AB的方程为y=x+2，
由
消去y并整理，得14x2+36x-9=0．y=x+2
+x2 9
=1y2 5
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=-18 7
，9 14
∴|AB|=
|x1-x2|=2
•2
=(x1+x2)2-4x1x2
．30 7
设O点到直线AB的距离为d，则d=
=|0-0+2| 2
．2
∴S△AOB=
|AB|•d=1 2
×1 2
×30 7
=2
．…（8分）15 2 7
（Ⅲ）设C（x3，y3），D（x4，y4），
由已知，直线AR的方程为y=
（x-1），即x=y1 x1-1
y+1．x1-1 y1
由
消去x并整理，得x=
y+1x1-1 y1
+x2 9
=1y2 5
y2+5-x1 y12
y-4=0．x1-1 y1
则y1y3=-
，∵y1≠0，∴y3=4 y12 5-x1
，4y1 x1-5
∴x3=
y3+1=x1-1 y1
•x1-1 y1
+1=4y1 x1-5
．5x1-9 x1-5
∴C（
，5x1-9 x1-5
）．同理D（4y1 x1-5
，5x2-9 x2-5
）．4y2 x2-5
∴k2=
=
-4y1 x1-5 4y2 x2-5
-5x1-9 x1-5 5x2-9 x2-5 4y1(x2-5)-4y2(x1-5) (5x1-9)(x2-5)-(5x2-9)(x1-5)
=
．4y1(x2-5)-4y2 (x1-5) 16(x2-x1)
∵y1=k1（x1+2），y2=k1（x2+2），
∴k2=
=4k1(x1+2)(x2-5)-4k1(x2+2)(x1-5) 16(x2-x1)
=7k1(x2-x1) 4(x2-x1) 7k1 4
∴
=k1 k2
为定值．…（14分）4 7