已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1，0），F2（1，

问题解答题

已知椭圆

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且与直线l：x-y-1=0交于A，B两点．
（1）若右顶点到直线l的距离等于

，求椭圆方程．
（2）设△AF₁F₂的重心为M，△BF₁F₂的重心为N，若原点O在以MN为直径的圆内，求a²的取值范围．

答案

（1）由椭圆右顶点到直线l的距离等于

，得

|a-0-1|

，解得a=2，由c=1，所以b²=a²-c²=3．

所以椭圆的方程为

=1；

（2）由题意设A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），

由

y=x-1

(a2-1)x2+a2y2=a2(a2-1)

，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0

x1+x2=

2a2

2a2-1

，x1x2=

2a2-a4

2a2-1

∵直线AB：x-y-1=0过焦点F₂（1，0），

∴△AF₁F₂的重心M（

，

x1-1

），

△BF₁F₂的重心N（

，

x2-1

），

因为原点O在以MN为直径的圆内，

所以

•

x1x2

(x1-1)(x2-1)

2x1x2-(x1+x2)+1

2×

2a2-a4

2a2-1

2a2

2a2-1

＜0，

解得，a2＞1+

．