问题 解答题
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且与直线l:x-y-1=0交于A,B两点.
(1)若右顶点到直线l的距离等于
2
2
,求椭圆方程.
(2)设△AF1F2的重心为M,△BF1F2的重心为N,若原点O在以MN为直径的圆内,求a2的取值范围.
答案

(1)由椭圆右顶点到直线l的距离等于

2
2
,得

|a-0-1|
2
=
2
2
,解得a=2,由c=1,所以b2=a2-c2=3.

所以椭圆的方程为

x2
4
+
y2
3
=1;

(2)由题意设A(x1,x1-1),B(x2,x2-1),

y=x-1
(a2-1)x2+a2y2=a2(a2-1)
,得(2a2-1)x2-2a2x+2a2-a4=0

x1+x2=

2a2
2a2-1
x1x2=
2a2-a4
2a2-1

∵直线AB:x-y-1=0过焦点F2(1,0),

∴△AF1F2的重心M(

x1
3
x1-1
3
),

△BF1F2的重心N(

x2
3
x2-1
3
),

因为原点O在以MN为直径的圆内,

所以

OM
ON
=
x1x2
9
+
(x1-1)(x2-1)
9
=
2x1x2-(x1+x2)+1
9

=

2a2-a4
2a2-1
-
2a2
2a2-1
+1
9
<0,

解得,a2>1+

2
2

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