问题
解答题
已知椭圆
(1)若右顶点到直线l的距离等于
(2)设△AF1F2的重心为M,△BF1F2的重心为N,若原点O在以MN为直径的圆内,求a2的取值范围. |
答案
(1)由椭圆右顶点到直线l的距离等于
,得2 2
=|a-0-1| 2
,解得a=2,由c=1,所以b2=a2-c2=3.2 2
所以椭圆的方程为
+x2 4
=1;y2 3
(2)由题意设A(x1,x1-1),B(x2,x2-1),
由
,得(2a2-1)x2-2a2x+2a2-a4=0y=x-1 (a2-1)x2+a2y2=a2(a2-1)
x1+x2=
,x1x2=2a2 2a2-1 2a2-a4 2a2-1
∵直线AB:x-y-1=0过焦点F2(1,0),
∴△AF1F2的重心M(
,x1 3
),x1-1 3
△BF1F2的重心N(
,x2 3
),x2-1 3
因为原点O在以MN为直径的圆内,
所以
•OM
=ON
+x1x2 9
=(x1-1)(x2-1) 9 2x1x2-(x1+x2)+1 9
=
<0,2×
-2a2-a4 2a2-1
+12a2 2a2-1 9
解得,a2>1+
.2 2