问题
解答题
在平面内，已知椭圆
（1）求椭圆的标准方程； （2）以椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由． |
答案
（1）由题意得
，∴2a=4
=c a 3 2
，∴b=1，a=2 c= 3
∴方程为：
+x2 4
=1．（5分）y2 1
（2）设BA的直线方程为设y=kx+1，（不妨设k＞0）
由
，得（1+4k2）x2+8kx=0，y=kx+1
+x2 4
=1y2 1
∴x1=0，x2=
，（7分）-8k 4k2+1
∴A(
，-8k 4k2+1
+1)，-8k2 4k2+1
∴AB=
=(
)2+(-8k 4k2+1
)2-8k2 4k2+1 8k 4k2+1
，k2+1
∴BC=
，8 k2+1 k2+4
由AB=BC，得k（k2+4）=4k2+1，
即（k-1）（k2-3k+1）=0，即k=1或k=3± 5 2
所以，存在3个等腰直角三角形．
直角边所在直线方程为y=±x+1，y=
x+1，y=±3+ 5 2
x+1．…（15分）±3- 5 2