问题 解答题

已知f(x)=x2+ax+3

(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;

(2)当x∈(-∞,1)时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.

答案

(1)∵x2+ax+3-a≥0对任意x∈R恒成立,

∴△=a2-4(3-a)≤0,解得-6≤a≤2,

∴a的范围是{a|-6≤a≤2}.

(2)∵x2+ax+3-a≥0对任意x∈(-∞,1)恒成立,

方法一:设g(x)=x2+ax+3-a,则△≤0或

△>0
-
a
2
>1
g(1)≥0

即:a2-4(3-a)≤0或

a2-4(3-a)>0
-
a
2
>1
1+a+3-a≥0

解得:-6≤a≤2或a<-6⇒a≤2.

∴实数a的范围是{a|a≤2}.

方法二:即a≤

x2+3
1-x
对任意x∈(-∞,1)恒成立,

∵1-x>0,

x2+3
1-x
=(1-x)+
4
1-x
-2≥2
4
-2=2,当且仅当x=-1时取等号.

∴实数a的范围是{a|a≤2}.

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