问题
解答题
设F1、F2分别为椭圆C：
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线
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答案
（Ⅰ）椭圆C的焦点坐标在x轴上，由椭圆上的点A到到F1、F2两点的距离之和等于4，
得2a=4，即a=2，
又椭圆C上的点A（1，
），因此3 2
+1 22
=1，解得b=(
)23 2 b2
，所以c=1，3
所以椭圆的标准方程为
+x2 4
=1，F1、F2两焦点坐标为（-1，0），（1，0）．y2 3
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点设（x，y），
则
+x2 4
=1，∴x2=4-y2 3
y2，Q（0，4 3
），1 2
|PQ|2=x2+(y-
)2=-1 2
y2-y+1 3
=-17 4
(y+1 3
)2+5，3 2
因为-
≤y≤3
，3
∴当y=-
时，|PQ|的最大值=3 2
；5
（Ⅲ）类似性质，若M、N是双曲线双曲线
-x2 a2
=1上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．y2 b2