问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长与焦距相等,且过定点(1,
2
2
)
,倾斜角为
π
4
的直线l交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求直线l在y轴上截距的取值范围;
(Ⅲ)求△ABP面积的最大值.
答案

(I)由题意可得

2b=2c
1
a2
+
1
2
b2
=1
a2=b2+c2
,解得a2=2,b2=1.

∴椭圆C的方程为

x2
2
+y2=1.

(II)设直线l的方程为:y=x+m.

联立

y=x+m
x2
2
+y2=1
,消去y得到3x2+4mx+2m2-2=0,

由△=16m2-24(m2-1)>0,得m2<3,即-

3
<m<
3

∴直线l在y轴上的取值范围是(-

3
3
).

(III)设A(x1,y1),B(x2,y2).AB中点Q(x0,y0).

x1+x2=-

4m
3
x1x2=
2m2-2
3

∴y1+y2=x1+x2+2m=

2m
3

x0=

x1+x2
2
=-
2m
3
y0=
y1+y2
2
=
m
3

∴Q(-

2m
3
m
3
).

∴AB的垂直平分线的方程为:y-

m
3
=-(x+
2m
3
).

令y=0,得x=-

m
3
.即P(-
m
3
,0)

点P到直线AB的距离d=|PQ|=

(-
m
3
+
2m
3
)2+(0-
m
3
)2
=
2
|m|
3

|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2
(-
4m
3
)2-4×
2m2-2
3
=
4
3
3-m2

S△ABP=

1
2
|AB|•d=
1
2
×
4
3
3-m2
×
2
|m|
3

=

2
2
9
3m2-m4
=
2
2
9
-(m2-
3
2
)2+
9
4

∵m2<3,∴当且仅当m2=

3
2
时,△ABP面积取得最大值
2
3

选择题
单项选择题

阅读下列文章,完成下面十二个小题:

  重庆临江门外,一个德国人开设的诊所里。医生沃克端坐桌后,神情()。他头也不抬,冷冷地问:“什么名字”“刘大川。”“年龄”“二十四岁。”“什么病”“土匪打伤了眼睛。”沃克放下笔,起身正准备查看伤势,一个护士走进诊室,悄声说:“沃克医生,五号病床的先生害怕做手术,要求……”沃克粗暴的打断护士的话,( )地说:“叫他滚蛋!我的诊所里再不要见到这胆小鬼!”护士喏喏连声地退走了。

  沃克医生余怒未息,他熟练地解开了病人右眼上的绷带,蓝色的眼睛里闪出( )的神情,重新审视着前这个病人,冷冷地问:“你是干什么的”“邮局职员。”“你是军人!”沃克医生一针见血地说,“我当过德国的军医。这样重的伤势,只有军人才能如此从容镇定!”病人微微一笑,针锋相对地回答:“沃克医生,军人处事靠自己的判断,而不是靠老太婆似的喋喋不休!”沃克怔住了。他伸手制止了闻声赶来的护士,双目火辣辣地盯着对方。良久,沃克医生目光( )了,突然对护士吩咐:“准备手术!”

  沃克换上了手术服,洗净手,戴上了消毒手套。这时护士跑过来,低声告诉他,病人拒绝使用麻醉剂。沃克医生的眉毛扬了起来,二话没说,走进手术室,用教训的口气说:“年轻人,在这儿要听从医生的指挥!”①病人平静地回答:“沃克医生,眼睛离脑子太近,我担心施行麻醉会影响脑神经。而我,今后需要一个清醒的大脑!”②沃克再次怔住了,竟有点口吃地说:“你,你能忍受吗你的右眼需要摘除坏死的眼球,把烂肉和新生的息肉一刀刀割掉!”“试试看吧。”病人说。

  手术台上,一向从容镇定的沃克医生,这次双手却有些颤抖。他额上汗珠滚滚,护士帮他擦了一次又一次,最后,他终于开口对病人说:“你如果忍不住可以哼叫。③”病人一声不吭。他的双手紧紧抓住身下的白垫单,手臂上汗如雨下,青筋暴起。他越来越使劲,崭新的白床单居然被抓破了。

  脱去手术服的沃克医生擦着汗走过来,由衷地说:“年轻人,我真担心你会晕过去。”病人脸色苍白,勉强一笑说:“我一直在数你的刀数。七十二刀。”沃克惊呆了,失声嚷道:“你是一个真正的男子汉,一块会说话的钢板!按德意志的观点,堪称军神!”“你过奖了。”病人说。

  沃克医生的脸上又一次浮现出( )的神情。他想说什么却又忍住了。[]他挥手让护士出去,关上手术室的门,然后注视着病人说:“告诉我,你的真名叫什么”[]④“刘伯承。”沃克医生肃然起敬:“啊,川东支队的将领,久仰久仰,认识您很荣幸。袁世凯悬赏十万买您的头!”刘伯承开玩笑地说:“你要是告诉北洋政府,说我在这儿,准能发一笔大财。”沃克医生象受了侮辱,怒气冲冲的说:“对侮辱我人格的人我不惜决斗⑤刘伯承微笑道:“等伤口好了以后,一定奉陪。”说着,友好地伸出手去。

第二段,病人“针锋相对”的回答所表达的意思是()

A.他认为沃克医生说话太罗嗦

B.他不认为自己的伤势严重

C.他明确否认自己是一名军人

D.他暗示沃克医生不必追究病人的身份