问题
问答题
已知椭球面
，在第一卦限内求作该曲面的一个切平面，使得切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，并求出四面体的体积.
答案
参考答案：椭球面方程写为
. 设(xo，yo，z0)是位于第一卦限曲面上任一点，则x0＞0，y0＞0，z0＞0，过该点切平面的法向量为
从而切平面方程为
注意到
，故切平面方程可写为
. 它在三坐标轴的截距分别为
，切平面与三坐标平面围成的四面体体积为
，
今欲求V在限制条件
下的最小值. 考虑拉格朗日函数：
令
解得
，实际问题最小值存在. 此点即最小点.
此时的切平面为
，
相应的四面体的体积是
.
解析：[考点] 多元函数几何应用与条件极值