已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1（-1，0），F

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），点P(

，

)在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过F₂（1，0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，若△OEF的面积为

，求直线l的方程．

答案

（Ⅰ）依题意得，

a2-b2=1

3a2

4b2

解得，a²=4，b²=3…（3分）

∴椭圆C的方程是

=1…（5分）

（Ⅱ）：若直线l⊥x轴，则直线l的方程为x=1，易知E(1，

)，F(1，-

)∴△OEF的面积S=

×1×3=

≠

，所以直线l的率存在且不为0，可设l：y=k（x-1），

由

y=k(x-1)

3x2+4y2=12

得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）∴

x1+x2=

8k2

3+4k2

x1x2=

4k2-12

3+4k2

，

∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

1+k2

3+4k2

…（8分）∴|y1-y2|=|k(x1-x2)|=

12|k|

1+k2

3+4k2

∵△OEF的面积为

，|OF₂|=1，∴

×|OF2|×|y1-y2|=

，

解得k=±1，所以直线l的方程为：x±y-1=0…（10分）．