问题
解答题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程； （2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足
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答案
（1）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
=0相切2
∴
=b，∴b=12 2
∵椭圆C：
+x2 a2
=1（a＞b＞0）的离心率为y2 b2
，2 2
∴
=c a
∴2 2
=a2-1 a2 1 2
∴a2=2
∴椭圆C的方程为：
+y2=1…（4分）x2 2
（2）由题意知直线AB的斜率存在．
设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
代入椭圆方程，消元可得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
∴△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，∴k2＜
．1 2
∵
+OA
=tOB OP
∴x=
=x1+x2 t
，y=8k2 t(1+2k2)
（8分）-4k t(1+2k2)
∵点P在椭圆上，∴
+2(8k2)2 t2(1+2k2)2
=2，(-4k)2 t2(1+2k2)2
∴16k2=t2（1+2k2）…（10分）
∴t2=8-
，8 1+2k2
∵k2＜
，∴t2∈（0，4）1 2
∴t∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）