问题 解答题
已知椭圆
x2
a
+
y2
b
=1(a>b>0)
过点(1,
3
2
)
,且离心率为
1
2
,A、B是椭圆上纵坐标不为零的两点,若
AF
FB
(λ∈R)
,且|
AF
|≠|
FB
|
,其中F为椭圆的左焦点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求A、B两点的对称直线在y轴上的截距的取值范围.
答案

(Ⅰ)由已知得,

12
a2
+
(
3
2
)
2
b2
=1
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
,解得a2=4,b2=3

∴椭圆的方程为

x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)A,B是椭圆上纵坐标不为零的两点,

AF
FB
(λ∈R)

∴A,F,B三点共线,且直线AB的斜率存在且不为0

又F(-1,0),可记AB方程为y=k(x+1),代入椭圆的方程,化简,得

(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然△>0

设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),

则x0=

x1+x2
2
=
-4k2
3+4k2
,y0=k(x0+1)=
3k
3+4k2

直线AB的垂直平分线方程为y-y0=-

1
k
(x-x0

令x=0,得,y=-

k
3+4k2
=-
1
4k+
3
k

∵|4k+

3
k
|≥4
3
,当且仅当|k|=
3
2
时取“=“

∴4k+

3
k
≥4
3
或4k+
3
k
≤-4
3

∴线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围为[-

3
12
,0]∪(0,
3
12
].

选择题
单项选择题 A3/A4型题