已知椭圆
(I)求椭圆的方程; (Ⅱ)求A、B两点的对称直线在y轴上的截距的取值范围. |
(Ⅰ)由已知得,
,解得a2=4,b2=3
+12 a2
=1(
)23 2 b2
=c a 1 2 a2=b2+c2
∴椭圆的方程为
+x2 4
=1y2 3
(Ⅱ)A,B是椭圆上纵坐标不为零的两点,
=λAF
(λ∈R)FB
∴A,F,B三点共线,且直线AB的斜率存在且不为0
又F(-1,0),可记AB方程为y=k(x+1),代入椭圆的方程,化简,得
(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然△>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),
则x0=
=x1+x2 2
,y0=k(x0+1)=-4k2 3+4k2 3k 3+4k2
直线AB的垂直平分线方程为y-y0=-
(x-x0)1 k
令x=0,得,y=-
=-k 3+4k2 1 4k+ 3 k
∵|4k+
|≥43 k
,当且仅当|k|=3
时取“=“3 2
∴4k+
≥43 k
或4k+3
≤-43 k 3
∴线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围为[-
,0]∪(0,3 12
].3 12