（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

5π

6

，

原点到该直线的距离为

3

2

，

∴

b

a

=

3

3

，

1

2

ab=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，

解得a=

3

，b=1，

∴椭圆方程是

x2

3

+y2=1．

（2）将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，

得（3k²+1）x²+12kx+9=0．

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过D（1，0）

则PD⊥QD，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，

又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，

得（k²+x）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5=0，

又x1x2=

9

3k2+1

，x1+x2=-

12k

3k2+1

，

代上式，得k=-

7

6

，

∵此方程中，△=144k²-36（3k²+1）＞0，∴k＞1，或k＜-1．

∴存在k=-

7

6

满足题意．