问题
解答题
椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,该椭圆经过点P(1,
(1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标. |
答案
(1)椭圆的标准方程为
+x2 4
=1(4分)y2 3
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
得:(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,y=kx+m
+x2 4
=1y2 3
∵△>0,∴3+4k2-m2>0,
x1+x2=-
,x1x2=8mk 3+4k2
∴y1y2=4(m2-3) 3+4k2
(6分)3(m2-4k2) 3+4k2
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,∴kAD•kBD=-1,
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,∴7m2+16mk+4k2=0,
∴m1=-2k,m2=-
k,且均满足3+4k2-m2>0,(9分)2 7
当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),则直线过定点(2,0)与已知矛盾
当m1=-
k时,l的方程为y=k(x-2 7
),则直线过定点(2 7
,0)2 7
∴直线l过定点,定点坐标为(
,0)(12分)2 7