设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右

问题解答题

设椭圆

=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（I）求椭圆的方程；
（II）过定点M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0为常数）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于不同的两点A．B，问在x轴上是否存在一点N，使直线NA与NB的倾斜角互补？若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）依题意得

a=2c

解之得

a=2

c=1

从而b=

．

∴椭圆方程为

=1． …（4分）

（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m），

联立方程得

y=k(x-m)

消去y得（3+4k²）x²-8mk²x+4k²m²-12=0，…（6分）

∵△=64m²k⁴-16（k²m²-3）（3+4k²）=48k²（4-m²）+144＞0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（n，0），

则x1+x2=

8mk2

3+4k2

，x1x2=

4k2m2-12

3+4k2

，（*）

因为直线NA与NB的倾斜角互补等价于k_NA+k_NB=0，…（8分）

所以

x1-n

x2-n

=0，即

k(x1-m)

x1-n

k(x2-m)

x2-n

=0，…（9分）

即2x₁x₂-（m+n）（x₁+x₂）+2mn=0，

将（*）式代入上式得

8m2k2-24

3+4k2

(m+n)×8mk2

3+4k2

+2mn=0，

整理得mn=4，∵m≠0，∴n=

，所以，N点存在，且坐标为(

，0)，

因此，存在点N(

，0)使得直线NA与NB的倾斜角互补． …（12分）