问题
解答题
已知F1（-1，0）、F2（1，0）为椭圆的焦点，且直线x+y-
（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）过F1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积S的最大值，并求此时直线的方程． |
答案
（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为
+x2 a2
=1，y2 a2-1
由x+y-
=0得y=7
-x，代入7
+x2 a2
=1消去y并整理得，（(2a2-1)x2-2y2 a2-1
a2x+8a2-a4=0，7
由△=28a4-4（2a2-1）（8a2-a4）=8a2（a4-5a2+4）=0，解得a2=1或a2=4，
因为a2＞1，所以a2=4，
所以椭圆方程为：
+x2 4
=1．y2 3
（Ⅱ）设过F1的直线：x=my-1，代入
+x2 4
=1消去x并整理得（3m2+4）y2-6my-9=0，y2 3
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
，y1y2=6m 3m2+4
，-9 3m2+4
所以|y1-y2|=
=36m2+36(3m2+4) 3m2+4
，12 m2+1 3m2+4
S△ABF2=
×2c|y1-y2|=|y1-y2|=1 2
=12 m2+1 3m2+4
，12 3
+m2+1 1 m2+1
令t=
，则t≥1，S△ABF2=m2+1
，12 3t+ 1 t
又(3t+
)′=3-1 t
＞0，所以3t+1 t2
递增，(3t+1 t
)min=3×1+1=4，当t=1即m=0时取等号，1 t
所以S△ABF2≤
=3，12 4
当m=0时，面积S最大为3，此时直线方程为x=-1．