已知：关于x的方程（k-1）x2-2kx+k+2=0有解．（1）求k的取值范围

问题解答题

已知：关于x的方程（k-1）x²-2kx+k+2=0 有解．

（1）求k的取值范围；

（2）若x₁，x₂是方程的两个不等根，且满足（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．求此时K的值．

答案

（1）当k=1时，方程为一元一次方程-2x+3=0，其有一个解．

当k≠1时，方程为一元二次方程，其有两个相等或不相等的实数根，

△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．

综上所述，k的取值范围是k≤2．

（2）∵x₁≠x₂，由（1）知k＜2且k≠1，

由题意得：（k-1）x₁²+（k+2）=2kx₁（*），

将（*）代入（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂中得：2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．

又∵x₁+x₂=

k-1

，x₁x₂=

k+2

k-1

，

∴2k•

k-1

=4•

k+2

k-1

．

解得：k₁=-1，k₂=2（不合题意，舍去），

则所求k值为-1．