问题
解答题
| 函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导．导函数f′（x）是减函数，且f′（x）＞0，x0∈（0，+∞）．g（x）=kx+m是y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程． （1）用x0，f（x0），f′（x0）表示m； （2）证明：当x∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）； （3）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥
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答案
（1）y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）
∴m=f（x0）-x0f'（x0）．
（2）证明：令h（x）=g（x）-f（x），则h'（x）=f'（x0）-f'（x），h'（x0）=0．
因为f'（x）递减，所以h'（x）递增，因此，当x＞x0时，h'（x）＞0；
当x＜x0时，h'（x）＜0．所以x0是h（x）唯一的极值点，且是极小值点，
可知h（x）的最小值为0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．
（3）把ax移到两边得x2+1-ax≥b≥
x3 2
-ax2 3
令y1=x2+1-ax，y2=
x3 2
-ax则2 3
=x-y /2
-a1 3
①
＜0时，（y1）min=1，（y2）max=0，∴1≥b≥0a 2
②
≥0时，(y1)min=1-a 2
，(y2)max=a2 4
，1 2a2
∴1-
≥b≥a2 4 1 2a2