问题
解答题
已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，其中a为实数．
（1）设t＞0为常数，求函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值；
（2）若对一切x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
答案
（1）f'（x）=lnx+1，
当x∈(0，
)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(1 e
，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增1 e
①0＜t＜t+2＜
，没有最小值；1 e
②0＜t＜
＜t+2，即0＜t＜1 e
时，f(x)min=f(1 e
)=-1 e
；1 e
③
≤t＜t+2，即t≥1 e
时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；（5分）1 e
所以f(x)min=-
，0＜t＜1 e
.1 e tlnt，t≥ 1 e
（2）由已知，
2xlnx≥-x2+ax-3，则a≤2lnx+x+
，3 x
设h(x)=2lnx+x+
(x＞0)，则h′(x)=3 x
，(x+3)(x-1) x2
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）min=4；