问题
解答题
在直角坐标系xOy中，椭圆C1：
（Ⅰ）求C1的方程； （Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C1交于不同的两点E，F．E在DF之间，试求△ODE 与△ODF面积之比的取值范围．（O为坐标原点） |
答案
（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得1+x1=
，即x1=5 3
．2 3
将x1=
代入抛物线方程得y1=2 3
（2分），进而由2 6 3
+(
)22 3 a2
=1及a2-b2=1解得a2=4，b2=3．故C1的方程为(
)22 6 3 b2
+x2 4
=1（4分）y2 3
（Ⅱ）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=sy+4代入
+x2 4
=1，整理得（3s2+4）y2+24sy+36=0（6分）y2 3
由△＞0，解得s2＞4．设E（x1，y1），F（x2，y2），则
，（1）（8分）y1+y2= -24s 3s2+4 y1• y2= 36 3s2+4
令λ=
=S△ODE S△ODF
=
|OD|•|y 1|1 2
|OD|•|y2|1 2
且0＜λ＜1．将y1=λy2代入（1）得y1 y2 (λ+1)y2= -24s 3s2+4 λ
=y 22 36 3s2+4
消去y2得
=(λ+1)2 λ
（10分）即s2=16s2 3s2+4
＞4，即3λ2-10λ+3＜0解得4(λ+1)2 10λ-3λ2-3
＜λ＜3．∵0＜λ＜1故△ODE与△ODF面积之比的取值范围为1 3
＜λ＜1（12分）1 3