问题
解答题
设椭圆C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)若斜率为2的直线l过椭圆C在y轴正半轴上的焦点,且与该椭圆交于A、B两点,求AB的中点坐标. |
答案
(Ⅰ)设椭圆C的标准方程为
+y2 a2
=1,其焦点为(0,±c)(2分)x2 b2
由已知得 b2=1,
=c a
,(6分)2 2
又a2=b2+c2(8分)∴a2=2,c=1
∴椭圆C的标准方程为
+x2=1(9分)y2 2
(Ⅱ)直线l的方程为 y-1=2(x-0),即y=2x+1
设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),
AB中点坐标为M(x0,y0)
由
得6x2+4x-1=0(12分)
+x2=1y2 2 y=2x+1
∴x1+x2=-
=-4 6
,x0=2 3
=-x1+x2 2
y0=1 3
=x1+x2+1=y1+y2 2 1 3
∴AB中点坐标为M(-
,1 3
)(15分)1 3