问题 解答题
设椭圆C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为
2
2
,其一个顶点的坐标是(1,0).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若斜率为2的直线l过椭圆C在y轴正半轴上的焦点,且与该椭圆交于A、B两点,求AB的中点坐标.
答案

(Ⅰ)设椭圆C的标准方程为

y2
a2
+
x2
b2
=1,其焦点为(0,±c)(2分)

由已知得 b2=1,

c
a
=
2
2
,(6分)

又a2=b2+c2(8分)∴a2=2,c=1

∴椭圆C的标准方程为

y2
2
+x2=1(9分)

(Ⅱ)直线l的方程为 y-1=2(x-0),即y=2x+1

设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),

AB中点坐标为M(x0,y0

y2
2
+x2=1
y=2x+1
得6x2+4x-1=0(12分)

x1+x2=-

4
6
=-
2
3
x0=
x1+x2
2
=-
1
3
y0=
y1+y2
2
=x1+x2+1=
1
3

∴AB中点坐标为M(-

1
3
1
3
)(15分)

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