已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A，

问题解答题

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，

），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的椭圆C，使得

是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．

答案

（1）∵P（-1，

）在⊙O：x²+y²=b²上，

∴b²=4．（2分）

又∵PA是⊙O的切线

∴PA⊥OP

∴

•

即（-1，

）•（-1+a，

）=0，解得a=4．

∴椭圆C的方程为

=1（5分）

（2）∵c²=a²-b²，A（-a，0），F（-c，0），P（x₁，y₁）

使得

是常数，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（λ是常数）

∵x²+y²=b²

即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），（8分）

比较两边，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，（10分）

故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，

即e³-2e+1=0，（12分）

（e-1）（e²+e-1）=0，符合条件的解有e=

-1

，

即这样的椭圆存在，离心率为

-1

．（16分）