问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,过顶点A(0,1)的直线L与椭圆C相交于两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点M在椭圆上且满足
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
,求直线L的斜率k的值.
答案

(1)由e=

c
a
=
3
2
,b=1,a2=1+c2,解得a=2,

故椭圆方程为

x2
4
+y2=1.

(2)设l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).

联立 

y=kx+1
x2
4
+y2=1
,消去y解得 (1+4k2)x2+8kx=0,

因为直线l与椭圆C相交于两点,所以△=(8k)2>0,

所以x1+x2=-

8k
1+4k2
,x1×x2=0,

OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
,∴
m=
1
2
(x1+
3
x2)
n=
1
2
(y1+
3
y2)

点M在椭圆上,则m2+4n2=4,

1
4
(x1+
3
x2)2+(y1+
3
y2)2=4,化简得

x1x2+4y1y2=x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)=(1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0,

∴4k•(-

8k
1+4k2
)+4=0,解得k=±
1
2

故直线l的斜率k=±

1
2

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