问题
解答题
已知椭圆C:
(1)求椭圆C的方程; (2)若点M在椭圆上且满足
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答案
(1)由e=
=c a
,b=1,a2=1+c2,解得a=2,3 2
故椭圆方程为
+y2=1.x2 4
(2)设l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).
联立
,消去y解得 (1+4k2)x2+8kx=0,y=kx+1
+y2=1x2 4
因为直线l与椭圆C相交于两点,所以△=(8k)2>0,
所以x1+x2=-
,x1×x2=0,8k 1+4k2
∵
=OM 1 2
+OA 3 2
,∴OB m=
(x1+1 2
x2)3 n=
(y1+1 2
y2)3
点M在椭圆上,则m2+4n2=4,
∴
(x1+1 4
x2)2+(y1+3
y2)2=4,化简得3
x1x2+4y1y2=x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)=(1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0,
∴4k•(-
)+4=0,解得k=±8k 1+4k2
.1 2
故直线l的斜率k=±
.1 2