已知椭圆E的中心在坐标原点O，经过两点A(1，255)，B(-2，55).圆C以

问题解答题

已知椭圆E的中心在坐标原点O，经过两点A(1，

)，B(-2，

).圆C以点（2，0）为圆心，椭圆的短半袖长为半径．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P是圆C上的一个动点，求

•

的取值范围．

答案

（1）设椭圆E的标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）．

因为A(1，

)，B(-2，

)在椭圆E上，所以

n=1

4m+

n=1

解得m=

，n=1，满足条件

所以所求椭圆E的标准方程为

+y2=1.

（2）由（1）知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为（2，0），半径r=1，

故圆C的方程为（x-2）²+y²=1．

设P（x，y），则

=(x-2，y)，

=(x，y)，

所以

•

=x(x-2)+y2=x2+y2-2x=2x-3.

因为（x-2）²+y²=1，所以（x-2）²≤1，即-1≤x-2≤1，得1≤x≤3．

所以-1≤2x-3≤3，即

•

的取值范围为[-1，3]．