在平面直角坐标系xOy中，F1（-4，0），F2（4，0），P是平面上一

问题解答题

在平面直角坐标系xOy中，F₁（-4，0），F₂（4，0），P是平面上一点，使三角形PF₁F₂的周长为18．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）在P点的轨迹上是否存在点P₁、P₂，使得顺次连接点F₁、P₁、F₂、P₂所得到的四边形F₁P₁F₂P₂是矩形？若存在，请求出点P₁、P₂的坐标；若不存在，请简要说明理由．

答案

（1）依题意，|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=18，∴|F₁F₂|=8，

∴|PF₁|+|PF₂|=10，点P的轨迹是椭圆，且2a=10，2c=8，

∴a=5，c=4，b=

52-42

=3，椭圆的方程为

=1，

∵PF₁F₂是三角形，点P不在直线F₁F₂上（即不在x轴上），

∴点P的轨迹方程为

=1（y≠0）．

（2）根据椭圆的对称性，F₁P₁F₂P₂是矩形当且仅当直线P₁P₂经过原点O，且∠F₁P₁F₂是直角，此时|OP1|=

|F1F2|=4（或kP1F1•kP1F2=-1），

设P₁（x，y），则

x2+y2=16

，解得

x2=

175

y2=

，

x=±

y=±

，

∴有2个这样的矩形F₁P₁F₂P₂，对应的点P₁、P₂分别为(

，

)、(-

，-

)或(-

，

)、(

，-

)．