已知椭圆的两焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)，离心率e=32．（1）求此椭

问题解答题

已知椭圆的两焦点为F1(-

，0)，F2(

，0)，离心率e=

．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；
（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设椭圆方程为

=1（a＞b＞0），…（1分）

则c=

，

，…（2分）∴a=2，b²=a²-c²=1…（3分）

∴所求椭圆方程为

+y2=1．…（4分）

（2）由

y=x+m

x2+4y2=4

，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，…（6分）

则△=64m²-80（m²-1）＞0得m²＜5（*）

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

，x1x2=

4(m2-1)

，y₁-y₂=x₁-x₂，…（7分）

|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

2[(-

)2-

16(m2-1)

]

=2…（9分）

解得.m2=

，满足（*）

∴m=±

．…（10分）

（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直

或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方

程为y=-

x+1，由

y=kx+1

x2+4y2=4

，得A(-

1+4k2

，-

8k2

1+4k2

+1)，…（11分）

∴|AB|=

1+4k2

)2+(-

8k2

1+4k2

8|k|

1+k2

1+4k2

，…（12分）

用-

代替上式中的k，得|BC|=

1+k2

4+k 2

，

由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²，…（13分）

∵k＜0，

∴解得：k=-1或k=

-3±

，

故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）