已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=x

问题解答题

已知椭圆C1：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求动点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）过椭圆C₁的焦点F₂作直线l与曲线C₂交于A、B两点，当l的斜率为

时，直线l₁上是否存在点M，使AM⊥BM？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）∵e=

，

∴e2=

a2-b2

，

∴2a²=3b²

∵直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切，

∴

=b，b=

，b2=2，

∴a²=3．

∴椭圆C₁的方程是

=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F₂（1，0），所以l₁：x=-1，设M（x，y），

∵|MP|=|MF₂|，

∴|x-(-1)|=

(x-1)2+y2

化简得：y²=4x，

∴点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．

（Ⅲ）∵直线l的方程为x-2y-1=0，代入y²=4x，得y²-8y-4=0．

由韦达定理得y₁+y₂=8，y₁y₂=-4，设A(

，y1)，B(

，y2)，

设直线l₁：x=-1上存在点M（-1，m），使得AM⊥BM，则

•

=0，

∴(-1-

，m-y1)•(-1-

，m-y2)=0，

∴16m²-16m（y₁+y₂）+4（y₁²+y₂²）+y₁²y₂²+16y₁y₂+16=0，

∴m²-8m+16=0，解得m=4，

∴准线上存在点M（-1，4），使AM⊥BM．