已知椭圆M：：x2a2+y23=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点

问题解答题

已知椭圆M：：

=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；
（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

答案

（I）因为F（-1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b²=3，

所以a²=4，所以椭圆方程为

=1；

（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，

所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到

y=x+1

，消掉y，得到7x²+8x-8=0，

所以△=288，x₁+x₂=-

，x₁x₂=-

，

所以|CD|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

；

（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=-1，

此时D（-1，

），C（-1，-

），△ABD，△ABC面积相等，|S₁-S₂|=0，

当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），

设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

和椭圆方程联立得到

y=k(x+1)

，消掉y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，

显然△＞0，方程有根，且x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，

此时|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₂+1）+k（x₁+1）|

=2|k（x₂+x₁）+2k|=

12|k|

3+4k2

|k|

+4|k|

≤

|k|

×4|k|

，（k=±

时等号成立）

所以|S₁-S₂|的最大值为

．