已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，下

问题解答题

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁和F₂，下顶点为A，直线AF₁与椭圆的另一个交点为B，△ABF₂的周长为8，直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若过点P（1，3）的动直线l与圆O相交于不同的两点C，D，在线段CD上取一点Q满足：

=-λ

，

=λ

，λ≠0且λ≠±1．求证：点Q总在某定直线上．

答案

（I）∵△ABF₂的周长为8，∴4a=8，∴a=2

∵F₁（-c，0），A（0，-b），∴直线AF₁的方程为

-c

-b

=1，即bx+cy+bc=0

∵直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3，O到直线AF₁的距离d=

b2+c2

．

∴(

)2+

=b2

∴b²c²+9=4b²

∵c²=4-b²，∴b²=3

∴椭圆C的方程为

=1；

（II）证明：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），

∵

=-λ

，∴（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）

∴

1-x1=-λ(x2-1)

3-y1=-λ(y2-3)

，即

x1-λx2=1-λ(1)

y1-λy2=3(1-λ)(2)

同理

x1+λx2=(1+λ)x(3)

y1+λy2=(1+λ)y(4)

（1）×（3），得

-λ2

=（1-λ²）x（5）

（2）×（4），得

-λ2

=3（1-λ²）y（6）

（5）+（6），得

-λ2(

)=（1-λ²）（x+3y）

∵C，D在圆O上，∴

=3，

∴3（1-λ²）=（1-λ²）（x+3y）

∵λ≠±1，∴x+3y=3

∴点Q总在定直线x+3y-3=0上．