设一元二次方程x2+px+q=0（p，q为常数）的两根为x1，x2，则x2+px

问题填空题

设一元二次方程x²+px+q=0（p，q为常数）的两根为x₁，x₂，则x²+px+q=（x-x₁）（x-x₂），即x²+px+q=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂，比较两边x的同次幂的系数，得

x1+x2=-p①

x1x2=q②

这两个式子揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，且关系式①②中，x₁，x₂的地位是对等的（即具有对称性，如将x₁，x₂互换，原关系式不变）．类似地，设一元三次方程x³+px²+qx+r=0（p，q，r为常数）的3个根为x₁，x₂，x₃，则x³+px²+qx+r=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．由此可得方程x³+px²+qx+r=0的根x₁，x₂，x₃与系数p，q，r之间存在一组对称关系式：

x1+x2+x3=()

x1x2+x2x3+x3x1=()

x1x2x3=()

______，______，______．

答案

∵x³+px²+qx+r=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）=x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-x₁x₂x₃，

∴x₁+x₂+x₃=-p，x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=q，x₁x₂x₃=-r．