参考答案：

由导数定义及其极限的保号性可找到两点x₁，x₂，使f(x₁)f(x₂)＜0．由零点定理知，存在ξ，使f(ξ)=0．现有三点函数取值为0，两次利用罗尔定理，例得证．

证 由f’(a)f’(b)＞0，不妨设f’(a)＞0，且f’(b)＞0．由导数定义知

因此存在δ₁＞0，使得当z∈(a，a+δ₁)时，有

因为x＞a，故有

f(x)＞f(a)，即f(x)＞0，x∈(a，a+δ₁)．

又由于

故存在δ₂＞0，使得当x∈(b-δ₂，b)时，有

因为x＜b，所以

f(x)＜f(b)， 即 f(x)＜0，x∈(b-δ₂，b)．

取δ₁，δ₂充分小，使a+δ₁＜b-δ₂．再取两点

x₁∈(a，a+δ₁)， x₂∈(b-δ₂，b)，

考虑区间[x₁，x₂]．显然f(x)在[x₁，x₂]上连续，且

f(x₁)＞0， f(x₂)＜0．

因此由连续函数介值定理知，至少存在一点ξ∈(x₁，x₂)，从而ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0．

再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理知，至少存在η₁∈(a，ξ)和η₂∈(ξ，b)，使得

f’(η₁)=f’(η₂)=0．

又在区间[η₁，η₂]上应用罗尔定理，便知至少存在η∈(η₁，η₂)(a，b)，使得f"(η)=0。