问题
单项选择题
设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)，f"(x)≠0，则______．
A．f’(x)在(a，b)内没有零点
B．f’(x)在(a，b)内只有一个零点
C．f’(x)在(a，b)内至少有一个零点
D．f’(x)在(a，b)内零点个数不能确定
答案
参考答案：B
解析： 因f(a)=f(b)，首选罗尔定理证之，再用反证法证明f’(x)只有一个零点．
因为f(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，
f(a)=f(b)．
由罗尔定理知，至少存在ξ∈(a，b)，使得
f’(ξ)=0．
如果f’(x)在(a，b)内有两个零点ξ1，ξ2(a≠ξ2)，则函数f’(x)在[ξ1，ξ2]上仍满足罗尔定理条件，则在ξ1，ξ2之间存在ξ2，使
f"(ξ3)=0，
这与在[a，b]上f"(x)≠0矛盾．因此仅(B)入选．