（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有

y2

x

=2p(x≠0)，据此验证4个点知（3，-2

3

）、（4，-4）在抛物线上，易求C₂：y²=4x（2分）

设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，把点（-2，0）（

2

，

2

2

）代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

解得

a2=4 b2=1

∴C₁方程为

x2

4

+y2=1（5分）

（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；（6分）

当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），

设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）

由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）

于是x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4(k2-1)

1+4k2

①

y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]

即y1y2=k2(

4(k2-1)

1+4k2

-

8k2

1+4k2

+1)=-

3k2

1+4k2

②（10分）

由

OM

⊥

ON

，即

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），

将①、②代入（*）式，得

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=

k2-4

1+4k2

=0，解得k=±2；（11分）

所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．