问题
解答题
设椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|
|
答案
（Ⅰ）由题意得
，c2=2
+2 a2
=11 b2 c2=a2-b2
解得a2=4，b2=2，
所以椭圆C的方程为
+x2 4
=1．y2 2
（Ⅱ）设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2）．
由题设知|
|，|AP
|，|PB
|，|AQ
|均不为零，记λ=QB
=|
|AP |
|PB
，则λ＞0且λ≠1|
|AQ |
|QB
又A，P，B，Q四点共线，从而
=-λAP
，PB
=λAQ QB
于是4=
，1=x1-λx2 1-λ
，x=y1-λy2 1-λ
，y=x1+λx2 1+λ y1+λy2 1+λ
从而
=4x①，
-λ2x 21 x 22 1-λ2
=y②，
-λ2y 21 y 22 1-λ2
又点A、B在椭圆C上，即x12+2y12=4 ③，x22+2y22=4 ④，
①+②×2并结合③、④得4x+2y=4，
即点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．