（Ⅰ）因为△ABM是边长为

2 6

3

的正三角形

所以圆M的半径r=

2 6

3

，M到y轴的距离为d=

3

2

r=

2

，即椭圆的半焦距c=d=

2

此时点M的坐标为(

2

，

2 6

3

)…（2分）

因为点M在椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上

所以

( 2 )2

a2

+

( 2 6 3 )2

b2

=1

又a²-b²=c²=2

解得：a²=6，b²=4

所求椭圆D的方程为

x2

6

+

y2

4

=1…（4分）

（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k

直线l的方程为y=k（x+1），则有Q（0，k）

设P（x₁，y₁），由于P、Q、F三点共线，且

QP

=2

PF

根据题意得（x₁，y₁-k）=2（-x₁-1，-y₁），解得

x1=- 2 3 y1= k 3

…（6分）

又P在椭圆D上，故

(- 2 3 )2

6

+

( k 3 )2

4

=1

解得k=±

10 3

3

综上，直线l的斜率为k=±

10 3

3

．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）得：椭圆N的方程为

x2

2

+y2=1…①，

由于F₁（1，0），设直线GK的方程为y=kx-2（k＜0）…②，

则直线RS的方程为y=k（x-1）（k＜0）…③

设H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）

联立①②消元得：（1+2k²）x²-8kx+6=0，所以x3x4=

6

1+2k2

所以|GH|•|GK|=

x 23 +(y3+2)2

•

x 24 +(y4+2)2

=

x 23 +(kx3)2

•

x 24 +(kx4)2

=

6(1+k2)

1+2k2

…（10分）

设R（x₅，y₅），S（x₆，y₆）

联立①③消元得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0

所以x5+x6=

4k2

1+2k2

，x5x6=

2(k2-1)

1+2k2

y5y6=k2[x5x6-(x5+x6)+1]=

-k2

1+2k2

3|RF1|•|F1S|=3

(x5-1)2+ y 25

•

(x6-1)2+ y 26

=3

y 25 +( y5 k )2

•

y 26 +( y6 k )2

=

3(1+k2)

1+2k2

…（13分）

由

6(1+k2)

1+2k2

=

3(1+k2)

1+2k2

，化简得：k²+1=0，显然无解，

所以满足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直线GK不存在．…（14分）