问题
解答题
已知关于坐标轴对称的椭圆经过两点A（0，2）和B(
（1）求椭圆的标准方程 （2）若点P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积、 |
答案
（1）设经过两点A（0，2），B(
，1 2
)的椭圆标准方程为3
mx2+ny2=1，代入A、B得
⇒4n=1
m+3n=11 4
，m=1 n= 1 4
∴所求椭圆方程为x2+
=1、（5分）y2 4
（2）在椭圆x2+
=1中，a=2，b=1、∴c=y2 4
=a2-b2 3
又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=4、①（6分）
由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=12 ②（8分）
把①两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=16，③
③-②得（2+
）|PF1|•|PF2|=4，3
∴|PF1|•|PF2|=4（2-
），（10分）3
∴S△PF1F2=
|PF1|•|PF2|sin30°=2-1 2
、（12分）3