问题
填空题
若二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .
答案
-2x2+4
【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,则一次项系数为0可求b.值域为(-∞,4],则最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.
解：∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称.
∴2a+ab=0,∴b=-2或a=0(舍去).
∴f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],
∴2a2=4,f(x)=-2x2+4.