（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，

左右两个焦分别为F₁，F₂．过右焦点F2且与轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=2，

∴

c a = 2 2 2b2 a =2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

2

，c=

2

，

∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．

（2）∵椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1，椭圆C的一个顶点为B（0，-b），

∴B（0，-

2

），

若存在存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点B′落在椭圆C上，

则直线BB′过点B（0，-

2

），且BB′⊥l，直线l垂直平分线段BB′，

∴直线BB′的方程为：y+

2

=-x，即x+y+

2

=0，

联立

x+y+ 2 =0 x2 4 + y2 2 =1

，解得B（0，-

2

），B′（-

4

3

2

，

2

3

），

∵直线l：y=x+m垂直平分线段BB′，

∴直线l：y=x+m过BB′的中点（-

2

3

2

，-

2

3

），

∴m=-

2

3

+

2 2

3

=

2

3

．

∴直线l的方程为y=x+

2

3

．