问题 解答题

已知{an}为等差数列,且a2=-1,a5=8.

(1)求数列{|an|}的前n项和;

(2)求数列{2n·an}的前n项和.

答案

(1) Sn (2) 20+(3n-10)×2n+1

(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a2=-1,a5=8,所以解得a1=-4,d=3,所以an=-4+3(n-1)=3n-7,因此|an|=|3n-7|=,记数列{|an|}的前n项和为Sn

n=1时,S1=|a1|=4,当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5,

n≥3时,SnS2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+n2n+10.

又当n=2时满足此式,

综上,Sn

(2)记数列{2nan}的前n项和为Tn

Tn=2a1+22a2+23a3+…+2nan,2Tn=22a1+23a2+24a3+…+2nan-1+2n+1an

所以-Tn=2a1d(22+23+…+2n)-2n+1an

由(1)知,a1=-4,d=3,an=3n-7,所以-Tn=-8+3×=-20-(3n-10)×2n+1,故Tn=20+(3n-10)×2n+1.

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