在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),

问题解答题

在数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹(2n+1)(n∈N^*),其中实数c≠0.求{a_n}的通项公式.

答案

a_n=(n²-1)cⁿ+c^n-1,n∈N^*

由原式得=+(2n+1).令b_n=,

则b₁=,b_n+1=b_n+(2n+1),

因此对n≥2有b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+…+(b₂-b₁)+b₁=(2n-1)+(2n-3)+…+3+=n²-1+,

因此a_n=(n²-1)cⁿ+c^n-1,n≥2.

又当n=1时上式成立.

因此a_n=(n²-1)cⁿ+c^n-1,n∈N^*.