已知椭圆的右顶点为A，离心率e=12，过左焦点F（-1，0）作直线l与

问题解答题

已知椭圆的右顶点为A，离心率e=

，过左焦点F（-1，0）作直线l与椭圆交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线x=-4交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明以线段MN为直径的圆经过焦点F．

答案

（Ⅰ）由已知 c=1，

，

∴a=2，b=

，

∴椭圆方程为

=1．--------------（5分）

证明：（Ⅱ）设直线l方程为 y=k（x+1），

由

y=k(x+1)

得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．-----（7分）

设M（-4，y_M），N（-4，y_N），则由A，P，M共线，得

yM-y1

-4-x1

x1-2

，有 y_M=-

6y1

x1-2

．同理 y_N=-

6y2

x2-2

．

∴y_My_N=

36y1y2

(x1-2)(x2-2)

36k2[x1x2+(x1+x2)+1]

x1x2-2(x1+x2)+4

．------（9分）

•

=(-3，yM)•(-3，yN)=9+yMyN

=9+

36k2[x1x2+(x1+x2)+1]

x1x2-2(x1+x2)+4

=9+

36k2[

4k2-12

3+4k2

8k2

3+4k2

+1]

4k2-12

3+4k2

8k2

3+4k2

=9-

9×36k2

36k2

=0.

∴

⊥

，即FM⊥FN，以线段MN为直径的圆经过点F；----（12分）

当直线l的斜率不存在时，不妨设M（-4，3），N（-4，-3）．则有

•

=(-3，3)•(-3，-3）=9-9=0，

∴

⊥

，即FM⊥FN，以线段MN为直径的圆经过点F．

综上所述，以线段MN为直径的圆经过定点F．-----------（14分）