问题
解答题
已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x2+y2=1，直线l：mx+ny=1．试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．
答案
（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，
所以直线过定点（3，0），即F为（3，0）．
设椭圆C的方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0），y2 b2
则
解得c=3 a+c=8 a2=b2+c2 a=5 b=4 c=3
故所求椭圆C的方程为
+x2 25
=1．y2 16
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以
+m2 25
=1．n2 16
从而圆心O到直线l的距离
d=
=1 m2+n2
=1 m2+16(1-
m2) 1 25
＜1．1
m2 +169 25
所以直线l与圆O恒相交．
又直线l被圆O截得的弦长
L=2
=2r2-d2
=21- 1 m2+n2
，由于0≤m2≤25，1- 1
m2 +169 25
所以16≤
m2+16≤25，则L∈[9 25
，15 2
]，4 6 5
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[
，15 2
]．4 6 5