已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上

问题解答题

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，证明：直线AB过定点（-

， -2）．

答案

（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，a²=8，

故椭圆方程为：

=1．

（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由

y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，

则x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．

由已知 k₁+k₂=8，可得

y1-2

y2-2

=8，

所以

kx1+m-2

kx2+m-2

=8，即2k+(m-2)

x1+x2

x1x2

=8．

所以k-

m+2

=4，整理得 m=

k-2．

故直线AB的方程为y=kx+

k-2，即y=k（x+

）-2．

所以直线AB过定点（-

， -2）．

（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，

设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），

由已知

y0-2

-y0-2

=8，得x0=-

．

此时AB方程为x=-

，显然过点（-

， -2）．

综上，直线AB过定点（-

， -2）．