问题
解答题
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F（2，0），且两条准线间的距离为λ（λ＞4）．
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围．
答案
（I）设椭圆的方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0).y2 b2
由条件知c=2，且
=λ，所以a2=λ，b2=a2-c2=λ-4．2a2 c
故椭圆的方程是
+x2 λ
=1(λ＞4).y2 λ-4
（II）依题意，直线l的斜率存在且不为0，记为k，则直线l的方程是y=k（x-1）．
设点F（2，0）关于直线l的对称点为F'（x0，y0），
则
=k(y0 2
-1)x0+2 2
•k=-1y0 x0-2
解得x0= 2 1+k2 y0= 2k 1+k2
因为点F'（x0，y0）在椭圆上，所以
+(
)22 1+k2 λ
=1.(
)22k 1+k2 λ-4
即λ（λ-4）k4+2λ（λ-6）k2+（λ-4）2=0．
设k2=t，则λ（λ-4）t2+2λ（λ-6）t+（λ-4）2=0．
因为λ＞4，所以
＞0.(λ-4)2 λ(λ-4)
当且仅当
(*)△=[2λ(λ-6)]2-4λ(λ-4)3 -
＞0.2λ(λ-6) λ(λ-4)
上述方程存在正实根，即直线l存在．
解（*）得
所以4＜λ≤λ≤ 16 3 4＜λ＜6.
.16 3
即λ的取值范围是4＜λ≤
.16 3