问题
解答题
| 曲线C1，C2都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0，1），线段MN是C1的短轴，是C2的长轴．直线l：y=m（0＜m＜1）与C1交于A，D两点（A在D的左侧），与C2交于B，C两点（B在C的左侧）． （Ⅰ）当m=
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围． |
答案
（Ⅰ）设C1的方程为
+y2=1，C2的方程为x2 a2
+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1…（2分）x2 b2
∵C1，C2的离心率相同，所以
=1-b2，a2-1 a2
所以ab=1，…．…（3分）
∴C2的方程为a2x2+y2=1．
当m=
时，A(-3 2
，a 2
)，C(3 2
，1 2a
)…．（5分）3 2
又∵|AC|=
，所以，5 4
+1 2a
=a 2
，解得a=2或a=5 4
（舍），…．…..（6分）1 2
∴C1，C2的方程分别为
+y2=1，4x2+y2=1．…．（7分）x2 4
（Ⅱ）A（-a
，m），B（-1-m2 1 a
，m）． …（9分）1-m2
∵OB∥AN，∴kOB=kAN，
∴
=m - 1 a 1-m2
，m+1 -a 1-m2
∴m=
． …．（11分）1 a2-1
e2=
，a2-1 a2
∴a2=
，1 1-e2
∴m=
． …（12分）1-e2 e2
∵0＜m＜1，
∴0＜
＜1，1-e2 e2
∴
＜e＜1…（13分）2 2