（1）设c=

a2-b2

，

依题意得

b=1 e= c a = a2-b2 a = 6 3

（2分）解得

a= 3 b=1

．（3分）∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．．（4分）

（2）①当AB⊥x轴时，|AB|=

3

．（5分）

②当AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，．．（6分）

把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，

∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

（7分）

∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]=

12(1+k2)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

(k≠0)≤3+

12

2×3+6

=4．

当且仅当9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

时等号成立，此时|AB|=2．（10分）

③当k=0时，|AB|=

3

（11分）

综上所述：|AB|_max=2，

此时△AOB面积取最大值S=

1

2

|AB|max×

3

2

=

3

2

（12分）