问题
解答题
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
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答案
设所求椭圆方程为
+x2 a2
=1.y2 b2
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组
①②
+x2 a2
=1y2 b2 y=x+1.
将②式代入①式，整理得
（a2+b2）x2+2a2x+a2（1-b2）=0，③
设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．
由题设OP⊥OQ，|PQ|=
，可得10 2
•x1+1 x1
=-1x2+1 x2 (x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=(
)2.10 2
整理得
④⑤(x1+x2)+2x1x2+1=0 4(x1+x2)2-16x1x2-5=0.
解这个方程组，得
或x1x2= 1 4 x1+x2=- 3 2 x1x2=- 1 4 x1+x2=-
.1 2
根据根与系数的关系，由③式得
（Ⅰ）
或（Ⅱ）
=2a2 a2+b2 3 2
=a2(1-b2) a2+b2 1 4
=2a2 a2+b2 1 2
=-a2(1-b2) a2+b2
.1 4
解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得
或a2=2 b2= 2 3 a2= 2 3 b2=2.
故所求椭圆的方程为
+x2 2
=1，或y2 2 3
+x2 2 3
=1.y2 2