∵方程x²-（k-1）x+k+1=0有两个实数根，

∴b²-4ac=（k-1）²-4（k+1）=k²-6k-3≥0，

可设方程的两个根分别为x₁，x₂，

则有x₁+x₂=-

又两个实数根的平方和等于4，即x₁²+x₂²=4，

∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=x₁²+x₂²=4，即（k-1）²-2（k+1）=4，

整理得：k²-4k-5=0，即（k-5）（k+1）=0，

解得：k=5或k=-1，

当k=5时，k²-6k-3=-8＜0，不合题意，舍去，

当k=-1时，k²-6k-3=4＞0，符合题意，

则实数k的值为-1．