已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和． (1)若数

问题解答题

已知无穷数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为数列{a_n}的前n项和．

(1)若数列{a_n}是等差数列，且对任意正整数n都有S_n₃＝(S_n)³成立，求数列{a_n}的通项公式；

(2)对任意正整数n，从集合{a₁，a₂，…，a_n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a₁，a₂，…，a_n一起恰好是1至S_n全体正整数组成的集合．

(ⅰ)求a₁，a₂的值；

(ⅱ)求数列{a_n}的通项公式．

答案

（1）a_n＝1或a_n＝2n－1（2）a₁＝1，a₂＝3，a_n＝3ⁿ^－1

(1)设无穷等差数列{a_n}的公差为d，因为S_n₃＝(S_n)³对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：

因为数列{a_n}的各项均为正整数，所以d≥0.

可得a₁＝1，d＝0或d＝2.(4分)

当a₁＝1，d＝0时，a_n＝1，S_n₃＝(S_n)³成立；

当a₁＝1，d＝2时，S_n＝n²，所以S_n₃＝(S_n)³.

因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a_n＝1或a_n＝2n－1.(6分)

(2)(ⅰ)记A_n＝{1,2，…，S_n}，显然a₁＝S₁＝1.(7分)

对于S₂＝a₁＋a₂＝1＋a₂，有A₂＝{1,2，…，S_n}＝{1，a₂，1＋a₂，|1－a₂|}＝{1,2,3,4}，

故1＋a₂＝4，所以a₂＝3.(9分)

(ⅱ)由题意可知，集合{a₁，a₂，…，a_n}按上述规则， * * 生S_n个正整数．(10分)

而集合{a₁，a₂，…，a_n，a_n_＋1}按上述规则产生的S_n_＋1个正整数中，除1,2，…，S_n这S_n个正整数外，还有a_n_－1，a_n_＋1＋i，|a_n_＋1－i|(i＝1,2，…，S_n)，共2S_n＋1个数．

所以，S_n_＋1＝S_n＋(2S_n＋1)＝3S_n＋1.(12分)

又S_n_＋1＋＝3 ，所以S_n＝·3ⁿ^－1－＝·3ⁿ－.(14分)

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n_－1＝·3ⁿ－－＝3ⁿ^－1.(15分)

而a₁＝1也满足a_n＝3ⁿ^－1.

所以，数列{a_n}的通项公式是a_n＝3ⁿ^－1.(16分)